基于拉普拉斯变换有限差分方法的B—S期权定价

摘 要 提供了一种基于自适应拉普拉斯变换有限差分方法来解决BlackScholes 期权定价问题.相比较于传统的时间推进法，此方法在保证较高精确度和很好的收敛性的同时，还可以减少计算时间.这一精确有效的方法将通过数值实验来验证.

关键词 拉普拉斯变换；有限差分；BlackScholes方程；欧式期权

中图分类号 F224.9 文献标识码 A

Laplace Transform Based Finite Difference

Method for BlackScholes Option Pricing

JIANG Zhiyuan1， ZHANG Tiao2， GONG Shanshan2

（1. School of Business， Guilin University of Electronic Technology，Gulin， Guangxi； 2.School of Mathematic

and Computing Science， Guilin University of Electronic Technology， Guilin， Guangxi 541004 China）

Abstract This paper provids an adaptive Laplace transform finite difference method to solve the problem of BlackScholes option pricing. Comparing to the traditional time marching methods， this method not only can guarantee higher accuracy and very good convergence， but also can reduce the computation time， whose accuracy and efficiency are shown by numerical experiments.

Key words Laplace transform； finite difference； BlackScholes equation； European option

1 引 言

金融期权因为具有套利和规避风险的功能，所以在金融市场占据越来越重要的位置.在国外期权市场飞速发展的同时，国内的期权市场仍处于停滞状态.同时由于国内没有期权交易所，导致部分投资者对期权鲜有了解.期权定价是期权交易的核心.在经典的确定性BS期权定价模型中[1]，为了研究的方便，人们经常会选择一个常数随机波动率.然而，这在经典的定价模型中是有缺陷的，比如波动率微笑就是众所周知的一个偏差.相对于给定一个常数波动率的经典BS模型来说，在实际的案例中，更多的是需要来求解带有未知波动率的模型.于是，关于求解此类问题的方法逐渐的受到越来越多的学者关注并研究.很多学者都采用对时间进行积分的时间推进法来进行研究期权的定价问题.其中Chawla[2]对BS方程运用广义梯形公式法对期权定价；Vázquez[3]给出了一种逆风数值方法的期权定价模型，可以同时对美式期权和欧式期权进行定价.国内学者张铁[4，5]给出了变网格差分方法和有限差分方法求解期权定价问题；蹇明[6]则利用了五点式混合差分方法研究欧式看涨期权定价问题.时间推进法采用了分割足够小的步长来保持其稳定性，但是在解决问题的同时，增加了计算量.基于这一问题，本文运用了自适应拉普拉斯变换有限差分方法，这种方法是通过对时域采用拉普拉斯变换，先剔除掉暂时的衍生品，再在资产的价格域上对变换后得到的方程采用有限差分方法，最后利用修正后的快速拉普拉斯逆变换，以期得到依赖于时间的期权价值.

2 知识回顾

图2给出了拉普拉斯变换有限差分方法的收敛性分析，取X=50，K=70，r=0.05，σ=0.4，T=1，L=100时，通过MATLAB可以观测到其收敛性的直观结果，且从运行结果上来看，其波动性较小、比较稳定，收敛性很好。如图2所示：

节点数/个

图2 拉普拉斯变换有限差分方法的收敛性分析

6 总 结

本文首先给出了拉普拉斯变换有限差分方法的理论推导，并给出了相应的算法总结.最后通过数值实验，可以观测到，拉普拉斯有限差分法相比较于二叉树方法和隐式差分方法，在保证其较好的收敛性的同时，还有着较高的精确度.在收敛性方面其优于隐式差分方法，但比二叉树方法的收敛性要差一些；从计算速度上来进行比较，其计算速度比二叉树方法和隐式差分方法的速度要更快一些.同时需要指出该方法的不足之处，即在节点数的选取上，并不是节点数L选取的越大，其精确度就越高.所以，接下来的工作主要是研究如何选取恰当的节点数以进一步提高其精确度以及良好的收敛性.

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