导数概念教学中渗透数学史内容的研究与实践

摘要：导数是微积分的核心概念，真正讲清楚导数既是对教师教学水平的挑战，也是学生正确理解导数概念的前提。笔者在教学中从导数概念的起源、导数的定义、导数的记号、导数的实质、导数释义及导数的几何意义等六个方面结合相关数学史内容以数学问题为驱动、以启发式教学为原则进行讲解，以期达到教学的趣味性、直观性、有效性与深刻性的统一。

关键词：导数；数学史；启发式教学

中图分类号：G642文献标识码：A文章编号：1671—1580（2014）03—0075—03

导数作为微积分的核心概念之一，在整个《高等数学》学习中具有相当重要的作用和地位。导数是解决函数相关问题的直接工具，而且导数的方法是今后全面研究微积分的重要方法和基本工具，在其他学科中同样具有十分重要的作用，在生产、生活的各个领域都有广泛的应用。导数概念的学习同时为今后研究导数的应用及积分学的学习打下必备的基础，具有承前启后的重要作用。

一、提出问题

我们知道“极限的概念”用来研究函数的变化趋势问题，“连续的概念”用来研究当自变量发生微小变化时函数的变化问题，函数变化的快慢问题怎样研究？

二、解决问题

1.导数概念的起源

导数主要来源于两个问题的研究，一个是作曲线的切线问题，一个是求函数的极大与极小值问题。最早研究这两个问题的是费马，他为导数概念的引出提供了与现代形式最接近的启示。最终解决这两个问题的一位是牛顿 ，一位是莱布尼兹。

17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生。微积分思想最早可以追溯到古希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法，1665年牛顿创立了微积分，莱布尼兹在1673～1676年间也发表了微积分思想的论著。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的、不连贯的。只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算，而这是微积分建立的关键所在，只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学，并从对各种函数的微分和求积公式中总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此，微积分“是牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的”（恩格斯，《自然辩证法》）。

然而，关于微积分创立的优先权，数学界曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹发表在1684年10月《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版中也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G.W.莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他叙述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了）因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念，得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx表示x的微分、∫表示积分等等，这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。

2.导数的定义

导数（derivative）的定义：设函数y=f（x）在x0点的某个邻域内有定义，如果函数的改变量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）与自变量的改变量Δx（Δx≠0）的比值

Δy1Δx=f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

当Δx→0时有极限，则称函数y=f（x）在点x0处可导，而这个极限值就称为函数y=f（x）在x0处的导数，记为f′（x0），即

f′（x0）=limΔx→0Δy1Δx=limΔx→0f（x0+Δx）-f（x0）1Δx

导数f′（x0）还可以记为

y′

x=x0，dy1dxx=x0，df（x）1dxx=x0

如果上述极限不存在，则称y=f（x）在点x0处没有导数或不可导。

导函数的定义：若函数f（x）在区间（a，b）内的每一点处都可导，则称函数f（x）在区间（a，b）内可导，其导数也是一个随x变化而变化的函数，称为函数f（x）在区间（a，b）内的导函数，简称导数，记为

f′（x）或y′，dy1dx，df（x）1dx

导函数的极限形式为

f′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）1Δx

注意：定义中的开区间（a，b）可以是任何开区间。

显然，f（x）在x0处的导数f′（x0）等于导函数f′（x）在x0处的函数值。

在牛顿与莱布尼兹时代，导数的概念是含混不清的并引起广泛争议。第一个给出导数明确定义的是柯西，柯西的导数定义澄清了近一个世纪关于导数的争议。

19世纪初期，微积分已发展成一个庞大的分支，内容丰富，应用非常广泛。与此同时，它的薄弱之处也越来越暴露出来，微积分的理论基础并不严格。为解决新问题并澄清微积分概念，数学家们展开了数学分析严谨化的工作，在分析基础的奠基工作中，做出卓越贡献的要推伟大的数学家柯西。

柯西在数学上的最大贡献是在微积分中引进了极限概念，他以物理为背景、以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系，用清晰的无穷小——以零为极限的变量代替了牛顿、莱布尼兹神秘莫测的无穷小。其极限概念的创立是微积分严格化的关键，无论是从逻辑上还是数学思想方法上，都决定性地澄清了微积分基础中的混乱，是微积分发展史上的精华。

1821年，柯西提出极限定义的方法，把极限过程用不等式来表达，后经维尔斯特拉斯的改进，成为现在所说的柯西极限定义。1821年Cauchy编著的数学名著《分析教程》和他另外两本分析教本被长期作为标准教科书，其逻辑体系保持至今，因而Cauchy被称为近代分析的奠基人。他在分析中的许多见解令人震惊，如有一次法国科学大会上他首次精辟地阐述了分析中被广泛采用、但不一定正确的理论问题——无穷级数的收敛性，年长的数学家拉普拉斯未等报告结束急返书屋，对其即将付印的《天体力学》中相关问题逐一核查，直到完全符合Cauchy的论述才放心。

当今所有微积分的教科书都还（至少是在本质上）沿用着柯西等人关于极限、连续、导数、收敛等概念的定义，他对微积分的解释被后人普遍采用。柯西对定积分做了最系统的开创性工作，他把定积分定义为和的“极限”。 在定积分运算之前，强调必须确立积分的存在性，他利用中值定理首先严格证明了微积分基本定理。通过柯西以及后来的维尔斯特拉斯的艰苦工作，使数学分析的基本概念得到严格的论述，从而结束了微积分200年来思想上的混乱局面，把微积分及其推广从对几何概念、运动和直觉了解的完全依赖中解放出来，并使微积分发展成现代数学最基础、最庞大的数学学科。

柯西在其他方面的研究成果也很丰富，复变函数的微积分理论就是由他创立的，在代数、理论物理、光学、弹性理论方面也有突出贡献。柯西的数学成就不仅辉煌，而且数量惊人，在数学史上是仅次于欧拉的多产数学家，以其名字命名的定理、准则出现在当今许多教科书中。

3.导数的记号

f′（x0），y′

x=x0（f′（x），y′）这两个记号是拉格朗日给出的，国内运用较多。Lagrange（1736～1818）是法国18～19世纪的大数学家、天文学家和力学家，17岁时由于读哈雷的天文学和数学的论文《论分析法的优点》，致力于对数学的学习和研究。担任过柏林科学院主席这样的高级职务，在数学上的地位处于欧拉与拉普拉斯之间，毕生从事数学教育工作，数学中的许多公式与定理都是以他的名字命名的。

另外两个导数记号dy1dxx=x0，df（x）1dxx=x0（dy1dx，df（x）1dx）是莱布尼兹给出的，国外运用较多。

4.导数的实质

由于Δy1Δx是函数y=f（x）当自变量x从x0变到x0+Δx时的平均变化率，所以limΔx→0Δy1Δx=f′（x0）（导数）是函数y=f（x）在点x0的变化率。

5.导数释义

为什么将导数称为“导数（derivative）”？

The function f′（x） is called the derivative of f（x） because it has been derived from f（x） from the following formula：

f′（x）=limΔx→0f（x+Δx）-f（x）1Δx

（fromStewart′s Calculus）6.导数的几何意义在中学的几何里，圆的切线被定义为“与圆只相交于一点的直线”。对一般曲线来说，就不能把与曲线只相交于一点的直线定义为曲线的切线。例如x轴和y轴都与抛物线y=x2只有一个公共点，但是显然y轴不是此抛物线在原点的切线。[TP1.tif；%50%50，Y]〖TS（*3〗〖JZ〗〖HT5”〗图1〖HT〗〖TS）〗一般曲线y=f（x）的切线定义是，在曲线y=f（x）上点A0附近另取一点A1，作割线A0A1，在点A1沿曲线移动而趋于A0时，割线A0A1的极限位置A0C就是曲线y=f（x）在点A0处的切线（图1）。设点A0、A1的坐标分别是（x0，f（x0））、（x0+Δx，f（x0+Δx）），割线A0A1与x轴正方向的夹角为β，则tanβ=〖SX（〗Δy〖〗Δx〖SX）〗=〖SX（〗f（x0+Δx）-f（x0）〖〗Δx〖SX）〗这就是割线A0A1的斜率。设切线A0C与x轴正方向的夹角为α，由曲线切线的定义，当点A1沿曲线趋于点A0时，x0+Δx→x0，即Δx→0，所以切线的斜率tanα应是割线的斜率在Δx→0时的极限，即tanα=lim〖DD（X〗A1→A0〖DD）〗tanβ=lim〖DD（X〗Δx→0〖DD）〗〖SX（〗Δy〖〗Δx〖SX）〗=lim〖DD（X〗Δx→0〖DD）〗〖SX（〗f（x0+Δx）-f（x0）〖〗Δx〖SX）〗函数y=f（x）在点x0处的导数f′（x0）表示曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线斜率。根据直线的点斜式方程，曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为y-f（x0）=f′（x0）（x-x0）曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的法线方程为y-f（x0）=-〖SX（〗1〖〗f′（x0）〖SX）〗（x-x0）， （f′（x0）≠0）〖HTH〗三、发展问题〖HT〗在问题解决后，根据导数如何计算又可以提出新的问题——导数最好的计算方法是什么？这样就产生了新的问题，由此激发学生进行新的思考。〖HTH〗四、结语〖HT〗〖JP2〗教学不应单纯以知识传授为目的，更应该重视在求知过程中激发学生的问题意识，逐步加深问题的深度，探求解决问题的方法，以形成学生自己对解决问题的独立见解为目的。教学中应以提出问题、解决问题及发展问题为主线，遵循启发式教学原则，适时、适度引入数学史内容，在传授数学知识与技能的同时，传授数学的创造方法与精神，同时要充分调动学生学习的积极性、主动性，发展学生的学习能力。〖JP〗〖HJ〗〖HS2〗〖JZ〗〖HT5”H〗[参考文献]〖HT6SS〗[1]李忠，周建莹.高等数学[M].北京：北京大学出版社，2009.[2]顾静相.经济数学基础[M].北京：高等教育出版社，2008.[3]袁银宗.数学教学融入数学史的途径和方法初探[J].教学月刊（中学版），2006（09）.[4]蔡碧.让数学文化走进数学课堂——关于数学史的研究[J].考试周刊，2008（05）.[5]汪晓勤.数学史与高等数学教学[J].高等理科教育，2009（02）.〖JP〗〖HJ〗〖HT〗〖FL）〗作者简介：