新课程理念下数学美育之我谈

摘 要:苏霍姆林斯基曾说:“没有审美教育就没有任何教育”。在此,不想夸大美育的作用,但是,作为素质教育的一个重要组成部分,未能得到充分重视,确实深感遗憾。值得高兴地是,高中数学新课程标准提出了数学教育必须注意培养学生的科学精神和人文精神,特别是在“数学与文化”处体现数学文化的一个重要功能是在美学方面,这种功能是鼓励人们将对数学的追求化为一种对美的追求。

关键词:新课程 数学美 数学教育

一、数学美的概述

人人都爱美,一切美的东西总能给人以赏心悦目的享受,而数学中的美无时不在,无处不在。现行的中学数学教育中蕴藏着丰富的美育因素,揭示并开发这些美的素材,将增强师生的美感体验与欣赏能力,会给数学教学带来美的情趣与勃勃生机,进而以美感动人,陶冶情操,提高素养,促进学生全面发展。

希腊数学家裴安说:“和谐美是杂多的统一,是对立的协调,是经过数学变化出现的均衡美。”我们知道球的体积公式为V球=4/3πR3=1/3·4πR2·R=1/3S球R(其中R、S球、V球分别表示球的半径,球的表面积,球的体积),其变形居然和锥体体积公式V锥体=1/3Sh如此相仿,这难道是偶然的巧合吗?不,它恰恰反映出数学公式之间的内在联系与和谐统一美的特征。

笛卡儿认为,美是“一种恰到好处的协调与适中”。平面解析几何中四种圆锥曲线从某些侧面揭示了客观世界的和谐统一,它们都是平面与圆锥面的截线,它们都具有光学性质,它们都具有统一的方程,它们都可以是天体运动的轨迹,这又是数学美的具体体现。

数学中的美不只体现在内容上,还体现在其思想方法中。法国哲学家狄德罗说:“数学中所谓美的问题,是指一个难以解决的问题;而所谓美的回答,则是指对于困难而复杂的问题的简单回答。”

二、挖掘课本的美育因素

1.优雅的比例美

黄金分割中的黄金比λ=(-1)/2≈0.618,本是一个枯燥的数字,但它在日常生活中有着广泛的应用。最和谐悦目的矩形如书籍、门窗等,其短边与长边之比为0.618;当气温为23℃时,人们身心感到最舒服,此时气温与体温(37℃)之比23/37≈0.618;最优美的身段,是身体下肢与整个身长之比为0.618,爱神维纳斯就具有这样的身段;报幕员所站最佳位置,应是舞台宽度的0.618处;……黄金比λ竟是美妙无比。

2.简捷的奇异美

运算能力强的标志:一是准确,二是合理简捷;培养逻辑思维能力也提出“寻找解题目标的方向和合适的解题步骤”,突出了求简观点。那些突破常规、新颖独特的简明解法,展示了以简驭繁的神韵,给人以数学的奇异美的感受。

例如,求值:cos12°-cos24°-cos48°-cos96°

解析:仔细观察式子的结构,不难发现存在的和谐美:角度之间可构成所需要的特殊角。据此重新组项,和差化积。

则,原式=(cos12°-cos48°)-(cos24°+cos96°)

=-2sin30°sin(-18°)-2cos60°cos36°

=sin18°-sin54°

=-2cos36°sin18°

变化至此,角度又成简捷的二倍关系,这自然而然想到分子分母同时乘以cos18°,继续促使其向简捷的方向发展。

3.和谐的对称美

数学中的对称美,使人赏心悦目。集合图形的中心对称、轴对称,都给人以舒适美观之感。毕达哥拉斯曾经说过:“一切平面图形中最美的是圆形,一切立体图形中最美的是球形”,其最根本的原因就是因为圆与球具有典型的对称性。代数中也同样充满着对称之美,“杨辉三角”体现了许多优美的对称性及广泛应用,对称多项式、恒等式、不等式及对称行列式等,类型可谓繁多。还有虚根成对定理,奇偶函数、周期函数的图象,互为反函数的图象关系等,无不表现出鲜明的对称性;形态各异的二次曲线,更与对称密切相关,就连当今应用甚广的群论,也是来自对数学对象的对称性的精思妙想而发展起来的。

三、树立教师的审美示范

在数学教学过程中,教师优美情景的创设,精美问题的设计,最优解法的探寻,形象生动的描述,工整漂亮的板书,大方得体的教态,都能给学生以美的享受。特别地,教师经过不断地揭示数学中美的因素,作出审美示范,更能使学生受到数学美的熏陶,从而进一步理解数学美的真正含义。

众所周知,圆锥曲线的标准方程之形式是如此简洁、优美、匀称,它给人以一种美的享受。就双曲线而言,平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数(小于│F1F2│)的点的轨迹叫做双曲线。如图,取过焦点F1、F2的直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系,设M(x,y)是双曲线上的任意一点,焦距是2c,M与F1,F2两点距离之差绝对值等于常数2a,则得其标准方程,在数学过程中,可以提出为什么要取“2c”与“2a”,而不取“c”与“a”呢?为什么要引进b呢?为何叫标准方程呢?

我们说,数学的发明和创造,除了反映客观世界的数量关系和空间形式,还来源于对美的追求。衡量一个理论是否成功,不仅有实践标准,逻辑标准,还有美的标准。当一种理论尚未达到美的境界时,就必须继续改进发展,“按照美的规律来制造”。如上一问题,按定义可得:p={M││MF1│-│MF2│=±2a},此可作双曲线方程。但它不符合简单性原则。故方程可化为(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)即 。我们说,此方程简单多了。但是,双曲线具有对称性,它表示的方程也该有对称性。于是,由于c2-a2>0,故令c2-a2=b2,即得,此式是如此简洁优美。至此,我们清楚知道,一开始选择“2c”“2a”正是为了追求简单性,而产生b是人为制造的,但实践证明,b正好是双曲线虚半轴,又具有鲜明几何意义。为何称为标准方程呢?应该说,对于同一个双曲线,建立不同的坐标系就可得到不同方程,其中若不规定一个作为标准的,那人们就没有共同的语言。如此教学,通过深挖教材中数学美之因素,既能阐明问题的本质,又能提高学生的审美能力,增强创造意识。

四、培养学生的审美情操

数学究竟美在哪里?学生不可能轻易意识到。这就要求教师在教学中,不仅要挖掘美,展示美,还要有意识引导学生去发现美、鉴赏美,培养学生的审美直感,提高审美能力和审美情操。

例如“杨辉三角”是一个蕴涵着组合恒等式的宝库,学过二项式定理后可问:“你能从中发现哪些组合恒等式?”学生带着浓厚兴趣,探索后可发现:

1.对称性

2.递归性

3.杨辉三角第n行各数的和等于2的n次方

4.杨辉三角第n行各数的平方和等于第2n行的中间数

这些恒等式的证明散见于课本,现将它们放置于“杨辉三角”之中,能使学生从中感受到新意,并能发现和亲身体验到“杨辉三角”之美,从而激起他们学习的兴趣和求知的欲望。教学中,教师还可利用“一题多解”,引导学生按照数学美的标准寻求问题的最优解法,比如按“简洁美”的要求寻找问题的简便解法,或打破常规,另辟蹊径,按“奇异美”的特征寻求标新立异的解法等等,在探索问题的过程当中培养学生的审美能力和创新精神。

参考文献:

1.马忠林主编,郑毓信著.数学方法论.广西:广西教育出版社出版

2.戴汝潜主编,胡炯涛,张著.中学数学教学纵横谈.山东:山东教育出版社

3.戴汝潜主编,任勇,张著.中学数学教学艺术.山东:山东教育出版社

作者单位:温州市龙湾区永强中学