基于知识结构的“平行四边形”教学设计

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摘 要：好的教学设计应该基于知识结构，一线串通、精中求简，让学生学得轻松。这正是教育数学的追求。基于教育数学理念的“平行四边形”教学设计可以安排如下课时内容：平行四边形的性质；平行四边形的判定；平行四边形、矩形和正方形；平行四边形、菱形和正方形；矩形和菱形；从正方形到平行四边形；梯形。基于教育数学理念的教学设计具有如下特征：整体性；重构性；重复性；现实性；发展性。

关键词：教育数学 知识结构 平行四边形 教学设计

数学教学设计的理念多种多样：有基于数学史的，有基于数学方法论的，也有基于学习理论的……好的教学设计应该以生为本，既能让学生提升考试成绩，也能让学生发展核心素养。笔者认为，这样的教学设计应该基于知识结构，一线串通、精中求简，让学生学得轻松。这正是教育数学的追求。

教育数学的理论与实践正在兴起。张景中院士基于教育数学的理念，成功地改造了平面几何知识体系，重建了三角函数知识结构。不过，现行课程标准和教材并没有吸收这种做法。那么，能不能在现行的课程框架之下，利用教育数学的理念进行教学设计呢？下面，以“平行四边形”为例进行阐述。

一、基于教育数学理念的教学设计案例

平行四边形是一类特殊的四边形，包含矩形、菱形、正方形等更特殊的情况。教学这一主题时，要让学生看到数学的传承与扩张，领会数学的生长方式，感悟数学的基本思想方法，积累数学的基本活动经验。下面，给出可操作的、结构化的教学设计程式。

（一）高观点地整体理解教材内容

平行四边形在逻辑上最简单，正方形在图形上最简单。既可以从平行四边形讲到正方形，也可以从正方形讲到平行四边形。从平行四边形到正方形是强抽象的过程，是不断丰富概念内涵的过程；从正方形到平行四边形是弱抽象的过程，是不断扩张概念外延的过程。

现行初中数学教材大多采取的是强抽象的过程。其路径如图1所示。可以看到，这是一个双线结构，矩形和菱形是中间的两个“驿站”。这两个“驿站”之间是要相互沟通的，从而形成双纽线结构，教学时要注意到这一点。

内容结构的解析决定了教学方法的选择。可以把“平行四边形—矩形—正方形”当作明线，把“平行四边形—菱形—正方形”当作暗线。若用讲授法讲明线，那么可用探究法学暗线。各种教学方法有机搭配，决不不恰当地抬高某种方法，也不无根据地贬低某种方法。这是理解结构之后，一线串通，确定教学的思路。

这两条线变化的手法是一样的，或变角度，或变长度，只是顺序不一样。这突出了平面几何的两个基本量角度和长度的作用。从本质上讲，这几种平行四边形其实是一样的。因而更激进一点的做法是，用启发式讲授法教学平行四边形之后，让学生仿照平行四边形的研究方法来研究矩形、菱形和正方形的性质和判定。这样，学习后三种特殊的平行四边形，其实就相当于在复习平行四边形的相关知识。因而，整个教学过程的重心应放在平行四边形的研究上。这是理解结构之后，精中求简，确定教学的重点。

（二）低起点地从学生已有经验出发

现行初中数学教材的引入方式主要有两种：（1）直接指出两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形；（2）呈现生活中的一些平行四边形形象，如小区的伸缩门、庭院的竹篱笆、载重汽车的防护链等。第一种引入法开门见山，直截了当；第二种引入法从实例到抽象，有助于发展学生的抽象能力。但是，这两种引入法的共同缺陷在于没有和前面学过的全等三角形发生有机的关联。

教育数学强调“从学生头脑中找概念”。基于这种想法，可以有这样一种引入方式：让学生拿出两个全等三角形来进行拼接，有可能拼成平行四边形，也有可能拼成筝形；引入生活中的一些平行四边形形象，说明平行四边形比筝形更常见，不妨先来研究平行四边形。这种做法的理据之一是还可以发展学生的组合思维能力：此處需要组合思维能力的强度强于从常见的实物图中抽象出平行四边形。

（三）教之以法，研究平行四边形

课程标准要求学生“能养成良好的学习习惯，掌握适合自身的学习方法”。由三角形全等，很容易推导出平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形。然后，可以列表格，引导学生从边、角、对角线这三个维度分析平行四边形的性质。

一般而言，图形内蕴性质的探究是比较困难的，需要教师的适切引导。因为这里的引入方法是建立在全等三角形基础上的，所以学生很容易发现边和边、角和角的关系，但是不容易明白为什么要研究对角线以及对角线有怎样的性质。基于全等三角形，已经自然生成了一条对角线，即两个顶点已经直接联通了。这时，可以启发学生：另外两个顶点能不能直接联通呢？这样，两条对角线就全生成了。这时，可以引导学生：它们之间又有什么关系呢？让学生展开探究。联通性的观念来源于图论。此处也是在渗透组合数学的思想。

（四）学会思考，从正面到反面

首先，可以这样过渡：给定了平行四边形，可以考察它的性质；反过来，给定了一个四边形，如何判定它是不是平行四边形？其次，引导学生寻找判定条件时，需要渗透逻辑知识：A具有一系列性质，那么具有这些性质的事物是否就是A呢？即把反问题变成正问题，然后分别从边、角、对角线的维度寻找判定方法。此处训练了学生逆向思考问题的习惯和能力。

（五）组织变化链，突出基本特征

角度是平面几何的基本量，而其中垂直是一个十分重要的关系。借助动态几何技术，把平行四边形变成矩形，让学生仿照研究平行四边形的“套路”，研究矩形的性质和判定。长度是平面几何的基本量，而其中相等是一个十分重要的关系。借助动态几何技术，把矩形变成正方形，让学生仿照研究矩形的“套路”，研究正方形的性质和判定。

上面的做法是先变角度后变长度，能不能先变长度后变角度呢？借助动态几何技术，把平行四边形变成菱形（或把筝形变成菱形），让学生仿照研究平行四边形的“套路”，研究菱形的性质和判定。借助动态几何技术，把菱形变成正方形，让学生仿照研究菱形的“套路”，研究正方形的性质和判定。

信息技术进入课堂教学，于此处成了一种必须，而不是一种强求。

（六）反思总结，感受辩证思维

让学生画出学习路线，从而发现上述双线结构。然后，提问：从平行四边形可以渐次变化到正方形，那么由平行四边形能否直接变到正方形？矩形和菱形之间能否相互演变？这样提问稍显抽象，但是可以设计有序题组，让学生明白：（1）顺次连接矩形四边中点所得的四边形是菱形；顺次连接菱形四边中点所得的四边形是矩形。（2）从菱形两条对角线的交点分别向各边引垂线，连接各垂足组成的四边形是矩形；从矩形两条对角线的交点分别向各边引垂线，连接各垂足组成的四边形是菱形。此处训练了学生的辩证思维：事物是相互联系的，“你中有我，我中有你”。

（七）逆向思維，实现融会贯通

提出研究性问题：既然能从平行四边形出发，经矩形或菱形，得到正方形，那么能不能从正方形出发，经矩形或菱形，得到平行四边形？如果能，又该如何研究它们的性质？此处再次训练了学生逆向思考问题的习惯和能力。

（八）构建知识网络，发现新的主题

让学生构建从四边形到平行四边形的知识网络，再次运用数学抽象化手法。引导学生思考：“两组对边分别平行”的要求实在有点“苛刻”，若只要求一组对边平行，得到的是什么样的图形？这样就得到了梯形。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程。这样的问题是开放性的，虽然不是考试所要求的，但是能够作为是否学会了“数学地思考”的一种检测。

根据上面的设计，便可以制作一张课时安排表：（1）平行四边形的性质；（2）平行四边形的判定；（3）平行四边形、矩形和正方形；（4）平行四边形、菱形和正方形；（5）矩形和菱形；（6）从正方形到平行四边形；（7）梯形。其中，（1）和（2）属于基础部分，学习（2）可视作复习（1）；（3）和（4）属于强化部分，学习（4）可视作复习（3）；学习（5）是沟通矩形和菱形之间的关联，属于横向学习；学习（6）可视作对（1）（2）（3）（4）（5）的一种另类复习；学习（7）则是跳出圈外，寻找新的主题。经过反复的渗透学习，学生能够在课堂上的宝贵时间内掌握“四边形”。

二、基于教育数学理念的教学设计特征

（一）整体性

根据教育数学理念，从整体的角度考察知识点之间的关系，并把它们安排在一个网络中，沟通它们之间的关联。这与修订后的高中数学课程理念是一致的：按“主线—主题—核心内容”构建数学内容体系，“整体把握、抓住本质、发展素养”。

（二）重构性

根据教育数学理念，重新构置课程，一线串通、精中求简，小而巧、不激进，可以与传统的课堂教学有机相融。

（三）重复性

这种教学设计认为“学习即复习”，把训练与新课的学习有机融合在一起，让学生真正成为主体，教师真正成为主导，使学生的学习经验能在教师的指导下反复熟悉与体会；把过程与结果统一起来，让学生在课堂上感悟数学的基本思想方法，积累数学的基本活动经验，并生成陈述性知识，化为操作性技能。

（四）现实性

这种教学设计并不惧怕考试，其思维训练的深度大于常规的教学做法。因为它提出的问题是根本性的，学会了这些根本的思考方法，再加上一些具体的技法指导，自然不惧怕考试。

（五）发展性

这种教学设计对学生的长远发展负责，不满足于仅仅把学生送进高等学校，而期望把学生送进数学研究的殿堂。因为它能让学生在具体主题的学习中，感悟“做”数学的过程，进而化实为虚，领略数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。

参考文献：

[1] 张景中.几何新方法和新体系[M].北京：科学出版社，2009.

[2] 张景中.一线串通的初等数学[M].北京：科学出版社，2009.